Funciones Polinomiales de grados tres y cuatro

El modelo matemático de las funciónes polinomiales de grados tres y cuatro:

f(x) = a3x3 +a2x2+a1x+a0.

Algunos ejemplos de funciones guiandonos segun nuestro modelo, serian:

f(x) = 4x3 +8x2+3x+38
f(x) = 46x3 +42x2+1297x+1827
f(x) = 92x3 +64x2+182x+128
f(x) = 95x3 +67x2+11x+219
f(x) = 35x3 +12x2+6x+578

Propiedades geométricas de las funciones polinomiales de grados tres y cuatro

Son las de la forma y = ax3 + bx2 + cx + d , siendo a , b , c y d números reales.
Todas estas funciones tienen dominio y recorrido R y son continuas. Respecto de los puntos de corte con los ejes podemos decir que la gráfica puede cortar al eje de abscisas en 1, 2 ó 3 puntos y al eje de ordenadas siempre en el punto (0,d)
Las gráficas de estas funciones cúbicas son de cuatro tipos exclusivamente, que distinguiremos por los extremos y los puntos de inflexión :
- Sin extremos, el punto de inflexión separa la región cóncava de la convexa o la convexa de la cóncava. Aparecerán ejemplos en los casos 1, 2 y 4
- Con dos extremos, un máximo y un mínimo, el punto de inflexión separa la región convexa de la cóncava o un mínimo y un máximo, separando el punto de inflexión la región cóncava de la convexa.

Metodos de solución de las ecuaciones factorizables asociadas a la función polinomial de grados tres y cuatro

Una forma de resolver una ecuacion de tercer grado es...

-4x3-2x2+4x+2

el factor comun (2)

2(-2x3-x2+2x+1)

Otra forma de resolverlo es la divisibilidad (calculos)

-2x3-x2+2x+1

T gauss        Posibles raices:   1,  1/2

-2(-1)3-(-1)2+2(-1)+1=0               (-1) es raiz

-2x3-x2+2x+1   es divisible por  (x+1), es decir  -2x3-x2+2x+1=(x+1) C(x)

C(x) es el cociente de dividir -2x3-x2+2x+1  por  (x+1)

Comportamiento de la grafica de una funcion polinomial en funcion de los valores que toman sus parametros:

Funcion Cubica
a) f(x) = ax 3 + bx2 + cx + d describe una gráfica parecida a una S.
Dependiendo del valor del coeficiente principal la curva puede variar:
Si a > 1, la curva presentará una expansión vertical.
Si 0 < a < 1 presentará una contracción vertical.
b) Si el valor de a, es:
Positivo, la curva asciende desde la izquierda y seguirá ascendiendo hacia la derecha.
Negativo, la curva descenderá desde la izquierda y seguirá descendiendo hacia la derecha.
c) La curva de la función cúbica siempre tiene al menos una raíz real y como máximo, tres raíces reales.
d) La gráfica de la función cúbica sólo cortará una vez al eje de las ordenadas.
e) La curva de la función cúbica no siempre presenta puntos extremos locales; pero en caso de presentar extremos locales, éstos serán dos: un máximo y un mínimo.
f) El dominio de la función cúbica es R y su rnago es R.

Funcion Grado Cuatro
f(x) = ax4 + bx 3 + cx2 + dx + e describe una gráfica parecida a una parábola.

a) Dependiendo del valor de su coeficiente principal puede variar:
Si a > 1, la curva presentará una expansión vertical.
Si 0 < a < 1 presentará una contracción vertical.

b) Si el valor de a:
Es positivo, la curva desciende desde la izquierda y ascenderá hacia la derecha.
Es negativo, la curva asciende desde la izquierda y descenderá hacia la derecha.

c) La curva de la función cuártica puede tener 0, 1, 2, 3 ó 4 raíces reales.

d) La gráfica de la función cuártica sólo cortará una vez al eje de las ordenadas.

e) La curva de la función cuártica presenta puntos extremos locales (máximos y mínimos) y pueden ser: uno, dos y tres.

f) El dominio de la función cuártica es R y su rango dependerá del máximo absoluto o bien del mínimo absoluto.

Representación gráfica de funciones polinomiales de grados tres y cuatro

Función cubica

Funcion Grado 4