Funciones Factorizables

Ceros y raices de una funcion

Llamamos ceros o raíces de una función f a los valores de x para los cuales se cumple que f(x)=0. Los ceros de una función son las abscisas de los puntos en los cuales su gráfica tiene contacto con el eje de las x.

En otras palabras esto significa que una raíz es el lugar en el cual y=0 ( no existe ningún movimiento en "y") asi que el punto en "x" hace que la linea choque con el eje de "x".

Raíces de y=0

También podemos sacar la raíz de x=0.

Las raíces nos pueden ser útiles para gráfica una función sin necesidad de tabular tantas parejas ordenadas para obtener el mismo resultado. Así que si obtenemos dos puntos podremos unirlos para obtener a recta y solo prolongarla lo necesario, esto solo para funciones lineales.

Teoremas del factor y del residuo

Teorema del residuo

Si se divide la función polinomial ƒ(x) entre el binomio x - a donde a es un número real, el residuo es igual a ƒ(a).

El teorema del residuo indica que el resultado de evaluar numéricamente una función polinomial para un valor a es igual al residuo de dividir el polinomio entre x - a. Un ejemplo de esto se ilustra en la parte de arriba. Se recomienda que el lector realice otras comprobaciones. Una conclusión muy importante del teorema del residuo es se puede evaluar numéricamente una función polinomial usando la división sintética.

A partir de lo anterior, si ƒ(a) = 0, entonces x - a es un factor del polinomio porque el residuo es cero. Cuando se encuentra un valor dex para el cual ƒ(x) = 0 se ha encontrado una raiz del polinomio, en el supuesto anterior, a es una raiz del polinomio.

Teorema del factor

Si a es una raiz de ƒ(x), entonces x - a es un factor del polinomio, donde a es un número real.

Aqui podemos observar la importancia de conocer el valor del residuo, ya que si éste es igual a cero, nos va a indicar que hemos encontrado un factor del polinomio y con él, una raiz del polinomio (una solución a la ecuación polinomial ƒ(x) = 0).

Divicion sintetica

La división sintética se realiza para simplificar la división de un polinomio entre otro polinomio de la forma x – c, logrando una manera mas compacta y sencilla de realizar la división.

Comenzamos dividiéndolo normalmente



Pero resulta mucho escribir pues repetimos muchos términos durante el procedimiento, los términos restados 2x4, -2x3,-4x2,x  pueden quitarse sin crear ninguna confusión, al igual que no es necesario bajar los términos 0x2, 9x, 10. al eliminar estos términos repetidos el ejercicio nos queda:



Ahora si mantenemos las potencias iguales de x en las columnas de cada potencia y colocando 0 en las faltantes se puede eliminar el escribir las potencias de x, así:



Como para este tipo de división solo se realiza con para divisores de la forma x – c entonces los coeficientes de la parte derecha siempre son 1 – c, por lo que podemos descartar el coeficiente 1 y el signo negativo, también se puede lograr una forma más compacta al mover los números hacia arriba, nos queda de la siguiente forma:



Si ahora insertamos a la primera posición del último renglón al primer coeficiente del residuo (2), tenemos que los primeros números de este renglón son los mismos coeficientes del cociente y el último número es el residuo, como evitamos escribir dos veces eliminamos el cociente.



Esta última forma se llama división sintética, pero ¿como hacerla sin tanto paso?, ahora les presentamos los pasos para llevar a cavo la división sintética:

1. Se ordenan los coeficientes de los términos en un orden decreciente de potencias de x hasta llegar al exponente cero rellenando con coeficientes cero donde haga falta
2. Después escribimos “c” en la parte derecha del renglón
3. Se baja el coeficiente de la izquierda al tercer renglón.
4. Multiplicamos este coeficiente por “c” para obtener el primer numero del segundo renglón (en el primer espacio de la izquierda nunca se escribe nada).
5. Simplificamos de manera vertical para obtener el segundo número de el tercer renglón.
6. Con este último número repetimos los pasos cuatro y cinco hasta encontrar el último número del tercer renglón, que será el residuo.

Teorema fundamental del algebra

El Teorema Fundamental del Álgebra (TFA) dice que todo polinomio a coeficientes complejos tiene una raíz compleja, es decir existe un número complejo donde el polinomio evalúa a cero. Hay muchas demostraciones de este importante resultado. Todas requieren bastantes conocimientos matemáticos para formalizarlas. Sin embargo, si se deja de lado algo del rigor matemático, hay argumentos simples y creíbles, que le permiten a uno convencerse de la veracidad del TFA. Nuestro objetivo es presentar a continuación uno de estos argumentos.

Teorema de factorizacion lineal

Una ecuación lineal en una variable es una ecuación polinómica de primer grado; es decir, una ecuación de la forma ax + b = 0.
Se les llama ecuaciones lineales porque representan la fórmula de una línea recta en lageometría analítica.

Funciones Polinomiales de grados tres y cuatro

El modelo matemático de las funciónes polinomiales de grados tres y cuatro:

f(x) = a3x3 +a2x2+a1x+a0.

Algunos ejemplos de funciones guiandonos segun nuestro modelo, serian:

f(x) = 4x3 +8x2+3x+38
f(x) = 46x3 +42x2+1297x+1827
f(x) = 92x3 +64x2+182x+128
f(x) = 95x3 +67x2+11x+219
f(x) = 35x3 +12x2+6x+578

Propiedades geométricas de las funciones polinomiales de grados tres y cuatro

Son las de la forma y = ax3 + bx2 + cx + d , siendo a , b , c y d números reales.
Todas estas funciones tienen dominio y recorrido R y son continuas. Respecto de los puntos de corte con los ejes podemos decir que la gráfica puede cortar al eje de abscisas en 1, 2 ó 3 puntos y al eje de ordenadas siempre en el punto (0,d)
Las gráficas de estas funciones cúbicas son de cuatro tipos exclusivamente, que distinguiremos por los extremos y los puntos de inflexión :
- Sin extremos, el punto de inflexión separa la región cóncava de la convexa o la convexa de la cóncava. Aparecerán ejemplos en los casos 1, 2 y 4
- Con dos extremos, un máximo y un mínimo, el punto de inflexión separa la región convexa de la cóncava o un mínimo y un máximo, separando el punto de inflexión la región cóncava de la convexa.

Metodos de solución de las ecuaciones factorizables asociadas a la función polinomial de grados tres y cuatro

Una forma de resolver una ecuacion de tercer grado es...

-4x3-2x2+4x+2

el factor comun (2)

2(-2x3-x2+2x+1)

Otra forma de resolverlo es la divisibilidad (calculos)

-2x3-x2+2x+1

T gauss        Posibles raices:   1,  1/2

-2(-1)3-(-1)2+2(-1)+1=0               (-1) es raiz

-2x3-x2+2x+1   es divisible por  (x+1), es decir  -2x3-x2+2x+1=(x+1) C(x)

C(x) es el cociente de dividir -2x3-x2+2x+1  por  (x+1)

Comportamiento de la grafica de una funcion polinomial en funcion de los valores que toman sus parametros:

Funcion Cubica
a) f(x) = ax 3 + bx2 + cx + d describe una gráfica parecida a una S.
Dependiendo del valor del coeficiente principal la curva puede variar:
Si a > 1, la curva presentará una expansión vertical.
Si 0 < a < 1 presentará una contracción vertical.
b) Si el valor de a, es:
Positivo, la curva asciende desde la izquierda y seguirá ascendiendo hacia la derecha.
Negativo, la curva descenderá desde la izquierda y seguirá descendiendo hacia la derecha.
c) La curva de la función cúbica siempre tiene al menos una raíz real y como máximo, tres raíces reales.
d) La gráfica de la función cúbica sólo cortará una vez al eje de las ordenadas.
e) La curva de la función cúbica no siempre presenta puntos extremos locales; pero en caso de presentar extremos locales, éstos serán dos: un máximo y un mínimo.
f) El dominio de la función cúbica es R y su rnago es R.

Funcion Grado Cuatro
f(x) = ax4 + bx 3 + cx2 + dx + e describe una gráfica parecida a una parábola.

a) Dependiendo del valor de su coeficiente principal puede variar:
Si a > 1, la curva presentará una expansión vertical.
Si 0 < a < 1 presentará una contracción vertical.

b) Si el valor de a:
Es positivo, la curva desciende desde la izquierda y ascenderá hacia la derecha.
Es negativo, la curva asciende desde la izquierda y descenderá hacia la derecha.

c) La curva de la función cuártica puede tener 0, 1, 2, 3 ó 4 raíces reales.

d) La gráfica de la función cuártica sólo cortará una vez al eje de las ordenadas.

e) La curva de la función cuártica presenta puntos extremos locales (máximos y mínimos) y pueden ser: uno, dos y tres.

f) El dominio de la función cuártica es R y su rango dependerá del máximo absoluto o bien del mínimo absoluto.

Representación gráfica de funciones polinomiales de grados tres y cuatro

Función cubica

Funcion Grado 4

Funciones Polinomiales de grados cero, uno y dos

Funciones polinómicas: son aquellas cuya
expresión es un polinomio, como por ejemplo:
f(x)=3x a la 4-5x+6 
Se trata de funciones continuas cuyo dominio es el
conjunto de los números reales.

Representación gráfica de funciones de grado cero, uno y dos.


En la figura se pueden ver las gráficas de las
funciones polinómicas de grado: cero, uno y dos.

Las de grado cero como f(x)=2, son rectas horizontales.
Las de grado uno, como f(x)=2x+4, son rectas oblicuas.
Las de grado dos, como f(x)=2x a la 2+4x+3, son parábolas cuyo eje es paralelo al de ordenadas.


Caracteristicas de funciones polinomiales de grado uno, dos y tres

El grado de un polinomio está dado por el mayor exponente de la variable en el

polinomio, independientemente del orden en el que estén los términos, como se

muestra en las siguientes funciones:

1. f(x) = 7. Es de grado cero, se le conoce como función constante.

2.  f(x) = 4x − 1. Es de grado uno, también conocida como función lineal. 

3.  f(x) = x2 + 5x + 6. Es de grado dos, se le conoce como función cuadrática.

4.  f(x) = 4x 2 + 5x 3 + 1. Es de grado tres y se le conoce como función cúbica.

5.  f(x) = 4x 4 + 3x 3 + 2x 2 + 1. Es de grado cuatro y se le conoce como función cuartica.

Parametros de las funciones de grados: cero, uno y dos.

f(x) = a(x - h)2 + k
El punto (h,k) es el vértice de la parábola, es también el punto donde la función alcanza su valor máximo o mínimo de acuerdo con el valor del coeficiente principal a.
Para a > 0, la función tiene un mínimo y su gráfica abre hacia la parte positiva del eje y.
Para a < 0, la función tiene un máximo y su gráfica abre hacia la parte negativa del eje y.
Ocurre que el vértice de la parábola constituye el punto donde la gráfica de la función cambia de decreciente a creciente si a > 0 y de creciente a decreciente si a < 0.

Tipos de funciones

Función inversa: no es la inversa de una función. Se llama funcion inversa o funcion reciproca a la que cumple que:
                              Si f de f(a) = b, entonces f a la −1(b) = a.

Para obtener la funcion inversa de una funcion seguimos los siguientes pasos:
1.- Se escribe la ecuación de la función "x" y "y".
2.- Se despeja la variable "x" en función de "y".
3.- Se intercambian las variables.

Funcion escalonada: su nombre radica por que su comportamiento grafico tiene saltos en forma de escalon.Su forma basica es F(x)=[x]
Tiene la caracteristica de que cada intervalo que se va marcando para "x" , tiene un valor en "y"

Es una funcion discontinua si se ve en su totalidadpero continua a cada intervalo que se da.Es sobreyectiva no tiene grado.

Función de valor absoluto: tiene por ecuación f(x) = |x|, y siempre representa distancias; por lo tanto, siempre será positiva o nula.

En esta condición, de ser siempre positiva o nula, su gráfica no se encontrará jamás debajo del eje x. Su gráfica va a estar siempre por encima de dicho eje o, a lo sumo, tocándolo.

Las funciones en valor absoluto siempre representan una distancia o intervalos (tramos o trozos) y se pueden resolver o calcular siguiendo los siguientes pasos:

1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces (los valores de x).

2. Se forman intervalos con las raíces (los valores de x) y se evalúa el signo de cada intervalo.

3. Definimos la función a intervalos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función.

4. Representamos la función resultante.

Función identidad: es del tipo f(x) = x

Su gráfica es la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

Por tanto la recta forma con la parte positiva del eje de abscisas un ángulo de 45º y tiene de pendiente m = 1.

Función constante: es del tipo  y = n

El criterio viene dado por un número real.

La pendiente es 0.

La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.

Funciones

Relación: es aquella relación o correspondencia entre dos o mas cantidades.

Función: podría definirse como conjunto de pares ordenados (x, y) donde el primer elemento nunca se repite.

Función

Dominio: elementos para los que esta definida la función (Valores de "x").

Contradominio: valores que puede tomar "y".

Imagen: cada uno de los valores que toma el contradominio (El contradominio incluye a todos los valores de "y" y la imagen solamente a aquellos que guardan una relacion con "x").

Partes de la funcion

Regla de correspondencia:  Ejemplo: y = 2x

El valor de "y" depende del valor de "x"

A cada valor de "x" corresponde uno de "y"

El valor de "y" debe ser igua al valor de "x" multiplicado por 2

Regla de correspondencia (y = 2x)

Asi que cada funcion es una regla de corespondencia.